Warum ist 0.99999... = 1 ?
In diesem Post geht es um die Geometrische Reihe, welche anhand eines Beispiels erklärt wird.
Die Idee zu diesem Post kam mir anhand dieses YouTube-Videos: https://www.youtube.com/watch?v=g3H8lZH7IfU
Warum ist \(0.\overline{9} = 1\) ? Um diese Frage zu beantworten, kann man sich zuerst anschauen was \(0.\overline{9}\) überhaupt ist. Da es eine Dezimalzahl mit unedlich vielen Neuern darstellt könnte man auf die Idee kommen, die Periode folgendermaßen aufzuteilen:
\(\begin{align}
0.\overline{9} = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \ldots + 0.0000\ldots 9
\end{align}\)
Da es sich um eine unendliche Summe handelt, ist der Begriff der Reihe nicht fern:
\(\begin{align}
0.\overline{9} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{9}{10} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^k
\end{align}\)
Nun stellt 0.9 eine Konstante dar, also kann man es vor die Summe schreiben:
\(\begin{align}
0.\overline{9} = \frac{9}{10} \cdot \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^k
\end{align}\)
Zum Schluss fällt auf, dass die Summe eine geometrische Reihe darstellt, denn es ist von der Form: \(\sum_{k=0}^{\infty}q^k\) mit $|q| < 1$.
Für diese Reihe gibt es eine Formel um den Grenzwert zu berechnen: \(\sum_{k=0}^{\infty}q^k = \frac{1}{1 - q}\). Es folgt also:
\(\begin{align}
0.\overline{9} = \frac{9}{10} \cdot \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^k = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{\frac{9}{10}} = \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{9} = 1
\end{align}\)