Formel für Summe der geraden natürlichen Zahlen beweisen

In diesem Post geht es darum die Formel $ n^2 + n $ zu beweisen, mit welcher man die Summe der n geraden natürlichen Zahlen berechnen kann. Kontext: In einer Übungsaufgabe war die Formel $ n^2 $ zu beweisen, um die Summe der n ungeraden natürlichen Zahlen zu berechnen und ich hatte zur Übung \(\sum_{k=1}^{n}(2k)=n^2 + n\) bewiesen gehabt.

Behauptung: \(\sum_{k=1}^{n}(2k)=n^2 + n\)
Beweis: Um die Formel zu beweisen wenden wir das Prinzip der vollständigen Induktion an:
Induktionsanfang: \(n=1\)
\(\begin{align} \sum_{k=1}^{1}(2\cdot k) = 2 \cdot 1=2=1^2 + 1 \end{align}\)
Induktionsvoraussetzung:
Wir nehmen an, die Gleichung gilt für ein beliebiges \(n\in\mathbb{N}: \sum_{k=1}^{n}(2k)=n^2 + n\)

Induktionsschritt:
Jetzt ist zu zeigen, dass die Gleichung für \(n+1\) gilt: \(\sum_{k=1}^{n+1}(2k)=(n+1)^2 + (n+1)\)

\(\begin{align} \sum_{k=1}^{n+1}(2k) & = (\sum_{k=1}^{n}(2k)) + 2\cdot(n+1) \\ & \overset{\text{I.V.}}{=} n^2 + n + 2\cdot (n+1) \\ & = n^2 + n + 2\cdot n + 2 \\ & = n^2 + n + 2\cdot n + 1 + 1 \\ & = n^2 + 2\cdot n + 1 + n + 1 \\ & \overset{\text{1. Binomische Formel}}{=} (n+1)^2 + (n+1)\;\Box \end{align}\)

Der Beweis war sehr kurz, aber dafür konnte ich die Latex-Funktionalität der Webseite testen. Dafür, dass ich Latex zum ersten Mal benutze, schaut es gar nicht schlecht aus :)